怎樣用通俗易懂的方式理解窗函數(shù)

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發(fā)布時間：2017/7/21 16:42:50
作者：pl_yinhe

　　我們知道數(shù)字信號處理的主要數(shù)學(xué)工具是傅里葉變換，而傅里葉變換是研究整個時間域和頻率域的關(guān)系，當(dāng)運用計算機實現(xiàn)測試信號處理時，不可能對無限長的信號進行測量和運算，而是取其有限的時間片段進行分析。具體做法是從信號中截取一個時間片段，然后用截取的信號時間片段進行周期延拓處理，得到虛擬的無限長信號，再進行傅里葉變換和相關(guān)分析。無限長信號被截斷后，其頻譜發(fā)生了畸變，我們稱為頻譜能量泄漏，為了減少頻譜泄漏，可采用不同的截取函數(shù)對信號進行截斷，截斷函數(shù)稱為窗函數(shù)，簡稱為窗。

一為什么要加窗

　　每次FFT變換只能對有限長度的時域數(shù)據(jù)進行變換，因此需要對時域信號進行信號截斷，即使是周期信號，如果截斷的時間長度不是周期的整數(shù)倍(整周期截斷)，那么截取后的信號將會存在頻譜泄漏，為了將這個泄漏誤差減少到最小程度(不是消除)，我們需要使用窗函數(shù)。加窗主要是為了使時域信號似乎更好的滿足FFT處理的周期性要求，減少泄漏。

圖1 整周期截斷、非整周期截斷及加窗后的頻譜

圖1 整周期截斷、非整周期截斷及加窗后的頻譜

　　如上圖1所示，若整周期截斷，則FFT頻譜為單一譜線。若為非整周期截斷，則頻譜出現(xiàn)拖尾，可以看出泄漏很嚴重。為了減少泄漏，給信號施加一個窗函數(shù)，原始截斷后的信號與這個窗函數(shù)相乘之后得到的信號為圖1最右側(cè)的信號。可以看出，此時信號的起始時刻和結(jié)束時刻幅值都為0，也就是說在這個時間長度內(nèi)，信號為周期信號，但是只有一個周期，對這個信號做FFT分析，相比之前未加窗的頻譜，泄漏已明顯改善，但并未完全消除，因此窗函數(shù)只能減少泄漏，不能消除泄漏。

二窗函數(shù)的定義

　　信號截斷時，只能截取一定長度，哪怕原始信號是無限長，就好像是用一個“窗”(確切來說更像一個“框”)去做這樣的截取。如下圖2所示，原始信號是周期信號，時間很長，截取時用紅色的“窗”去截取這個周期信號，截取得到的信號如圖3所示。

圖2 原始信號

圖2 原始信號

圖3 時間窗截斷后的信號

　　當(dāng)然，這個“窗”是一個單位權(quán)重的加權(quán)函數(shù)，成為“矩形窗”。這個“窗”外的信號是看不到的，就好比通過窗戶看外面的世界，世界很大也很精彩，但您能看到的只是位于窗內(nèi)的世界。這就是為什么這樣的加權(quán)函數(shù)被成為窗函數(shù)的真正原因。

　　上圖3中用于截取信號的時域截取函數(shù)稱為窗函數(shù)，它是一種加權(quán)函數(shù)，不同窗的加權(quán)是不一樣的，也就是說，可以用不同的窗函數(shù)來做信號截斷。常用的窗函數(shù)有矩形窗、漢寧窗、平頂窗和指數(shù)窗等。

三窗函數(shù)的時頻域特征

　　加窗實質(zhì)是用一個所謂的窗函數(shù)與原始的時域信號做乘積的過程，使得相乘后的信號似乎更好的滿足傅里葉變換的周期性要求，如下圖4所示，原始的信號是不滿足FFT變換的周期性要求的，變換后存在泄漏，如果施加一個窗函數(shù)，會在一定程度上減少泄漏。

圖4 信號加窗

原始周期信號窗函數(shù) 加窗后的信號

圖4 信號加窗

　　使用不同的時間窗，他們的時域形狀和頻域特征是不相同的，這里主要介紹三種常見的窗函數(shù)的時域表達形式，以及他們的時域窗形狀和頻域特征。這三種窗分別是矩形窗、漢寧窗和平頂窗。它們的時域表達式如下表所示，并且假設(shè)時間窗的范圍為0≤t≤T，t的取值區(qū)間不同，窗函數(shù)的表達形式會略有差異。